فیدیبو نماینده قانونی گروه انتشاراتی ققنوس و بیش از ۶۰۰ ناشر دیگر برای عرضه کتاب الکترونیک و صوتی است .
کتاب مبانی علم حساب

کتاب مبانی علم حساب
پژوهشی منطقی - ریاضیاتی درباره مفهوم عدد

نسخه الکترونیک کتاب مبانی علم حساب به همراه هزاران کتاب دیگر از طریق فیدیبو به صورت کاملا قانونی در دسترس است.


فقط قابل استفاده در اپلیکیشن‌های iOS | Android | Windows فیدیبو

درباره کتاب مبانی علم حساب

کتاب مبانی علم حساب در سال ۱۸۸۴ چاپ شده است و فِرِگه در آن به بررسی مبانی فلسفی علم حساب و بالاخص عدد می‌پردازد. برخلاف کتاب مفهوم‌نگاشت، در این‌جا خبری از زبان صوری نیست. چنان‌که خود فرگه می‌گوید، تکلیف این کتاب این است که یا عدد را تعریف کند یا تعریف‌ناپذیری آن را آشکار سازد. او پس از عنوان کردن این پرسش که «عدد یک چیست؟»، به بررسی و نقد عقاید دیگر ریاضیدانان و فلاسفه درباره چیستیِ عدد پرداخته است و دیدگاه خود را بیان می‌کند. آنچه فرگه بیش از همه با آن مخالفت می‌کند دیدگاهی روان‌شناختی است که در آن اعداد با تصورات ذهنی مرتبط دانسته می‌شوند. تحت تأثیر انتقادات فرگه بود که هوسرل موضع روان‌شناختی خود را تغییر داد. او که تصمیم دارد مبانی علم حساب را بر اساس قوانین منطق توضیح دهد، قائل به تمایزی اساسی میان منطق و روان‌شناسی است. «آیا بنیان علم حساب ژرف‌تر از همه علوم تجربی، و حتی ژرف‌تر از هندسه نیست؟ حقایق حسابی قلمروِ هر آنچه را قابل شمارش است در بر می‌گیرند. این گسترده‌ترین قلمروست؛ زیرا نه‌تنها امر واقعی و نه‌تنها امر شهودی، بلکه هر آنچه اندیشیدنی است، به آن تعلق دارد. بنابراین، آیا نباید قوانین اعداد ارتباط بسیار نزدیکی با قوانین تفکر داشته باشند؟» بنا به عقیده فرگه، اعداد ماهیاتی عینی (یا برابرایستاهایی اُبژکتیو) و مستقل از تصورات و فرایندهای ذهنی ما هستند. البته عینی را نباید به معنای فیزیکی فهمید. عدد ۵ برخلاف رنگ آبی صفتی از اشیای بیرونی نیست و البته این به معنای ذهنی بودن آن نیز نیست.

ادامه...

بخشی از کتاب مبانی علم حساب

شما به آخر نمونه کتاب رسیده‌اید، برای خواندن نسخه کامل، کتاب الکترونیک را خریداری نمایید و سپس با نصب اپلیکیشن فیدیبو آن را مطالعه کنید:



یادداشت مترجم فارسی

کتاب مبانی علم حساب در سال ۱۸۸۴ چاپ شده است و فِرِگه در آن به بررسی مبانی فلسفی علم حساب و بالاخص عدد می پردازد. برخلاف کتاب مفهوم نگاشت، در این جا خبری از زبان صوری نیست. چنان که خود فرگه می گوید، تکلیف این کتاب این است که یا عدد را تعریف کند یا تعریف ناپذیری آن را آشکار سازد. او پس از عنوان کردن این پرسش که «عدد یک چیست؟»، به بررسی و نقد عقاید دیگر ریاضیدانان و فلاسفه درباره چیستیِ عدد پرداخته است و دیدگاه خود را بیان می کند.
آنچه فرگه بیش از همه با آن مخالفت می کند دیدگاهی روان شناختی است که در آن اعداد با تصورات ذهنی مرتبط دانسته می شوند. تحت تاثیر انتقادات فرگه بود که هوسرل موضع روان شناختی خود را تغییر داد. او که تصمیم دارد مبانی علم حساب را بر اساس قوانین منطق توضیح دهد، قائل به تمایزی اساسی میان منطق و روان شناسی است. «آیا بنیان علم حساب ژرف تر از همه علوم تجربی، و حتی ژرف تر از هندسه نیست؟ حقایق حسابی قلمروِ هر آنچه را قابل شمارش است در بر می گیرند. این گسترده ترین قلمروست؛ زیرا نه تنها امر واقعی و نه تنها امر شهودی، بلکه هر آنچه اندیشیدنی است، به آن تعلق دارد. بنابراین، آیا نباید قوانین اعداد ارتباط بسیار نزدیکی با قوانین تفکر داشته باشند؟»(۱) بنا به عقیده فرگه، اعداد ماهیاتی عینی (یا برابرایستاهایی اُبژکتیو) و مستقل از تصورات و فرایندهای ذهنی ما هستند. البته عینی را نباید به معنای فیزیکی فهمید. عدد ۵ برخلاف رنگ آبی صفتی از اشیای بیرونی نیست و البته این به معنای ذهنی بودن آن نیز نیست.
مایکل دومت، از شارحان برجسته فرگه، این کتاب را قوی ترین و سرشارترین اثر فلسفیِ فرگه می داند. با این همه، مبانی علم حساب همانند دیگر آثار فرگه در ابتدا با استقبال چندانی روبه رو نشد، تا این که نظر برتراند راسل را به خود جلب کرد. نظریه مجموعه های راسل حاصل تشخیص نقصی در کار فرگه بود. در حقیقت، منطق گرایی فرگه در این اثر را می توان نقطه آغازی برای فلسفه ریاضی و تحلیل او از زبان را نقطه آغازی برای فلسفه تحلیلی دانست.
از آن جایی که به عقیده بسیاری فرگه پدر فلسفه تحلیلی است، جای خالی آثار او به زبان فارسی احساس می شود. ترجمه ای که پیش روی شما عزیزان است، بر اساس متن آلمانیِ آن و همچنین ترجمه انگلیسیِ تحسین برانگیز جی. ال. آستین انجام گرفته است. در مواردی که فرگه به تحلیل هایی پرداخته که ارتباط زیادی به معانی مختلف واژه ها یا ساختار دستوری خاص زبان آلمانی داشته اند، اصل واژه ها یا جملات آلمانی را به صورت پانوشت آورده ام تا خواننده درک بهتری از بحث او داشته باشد. نکته ای که باید به خاطر سپرد این است که از اصطلاحات مهمی که فرگه به کار گرفته، همچون «این همانی»، «عینیت»، «مفهوم»، «دنباله» و...، آن معنایی را بفهمیم که خود او در همین کتاب برای آن ها در نظر می گیرد. توضیحات مترجم انگلیسی که ایشان آن ها را در کتاب انگلیسی در قلاب گذاشته بود، در ترجمه فارسی با شماره های داخل پرانتز و به صورت مسلسل مشخص شده و در انتهای کتاب با عنوان «یادداشت های مترجم انگلیسی» آمده است و پانوشت های نویسنده آلمانی با ستاره مشخص شده و سایر پانوشت ها مربوط به مترجم فارسی است. همچنین توضیحاتی که برای فهم بهتر متن در قلاب قرار دارند از مترجم فارسی هستند و توضیحاتی که در پانوشت های نویسنده آلمانی در قلاب قرار گرفته اند از مترجم انگلیسی است. مترجم انگلیسی برخی از منابع و نقل قول هایی را که گاهی دقیق نبوده اند تصحیح کرده است که ما نیز آن ها را به همان شکل در ترجمه فارسی آورده ایم.
از دکتر محمدعلی عبداللهی که این حقیر را پیوسته به ترجمه این کتاب تشویق می کرد و از راهنمایی های راهگشای خود دریغ نمی نمود کمال تشکر را دارم. همچنین از مهندس احمد جابری که بیش از نیمی از این ترجمه را با ترجمه آستین مقابله نمودند و دکتر آسیه جعفری که زحمت بازخوانی ترجمه نهایی را متقبل شدند سپاسگزارم. در پایان از کارکنان محترم انتشارات ققنوس، به ویژه مدیرمسئول آن جناب آقای حسین زادگان که تلاش صادقانه ای در جهت روشن نگه داشتن چراغ دانش و فرهنگ دارند، قدردانی می نمایم.

مقدمه

هنگامی که از کسی می پرسیم عدد یک چیست، یا نشانه(۲) ۱ به چه دلالت می کند،(۳)و ( ۱ ) معمولاً این پاسخ را می شنویم: خوب، یک شی ء. و اگر ادامه دهیم و اشاره کنیم که گزاره

«عدد یک، یک شی ء است»(۴)

یک تعریف نیست، زیرا در یک سوی آن حرف تعریف معین و در سوی دیگرش حرف تعریف نامعین قرار دارد، یا این که اشاره کنیم که این گزاره تنها می گوید که عدد یک به اشیا تعلق دارد، اما نمی گوید که کدام شی ء است، بدین ترتیب احتمالاً از ما خواسته می شود که به دلخواه شیئی را انتخاب کنیم و آن را [عددِ] یک بخوانیم. اما اگر هر کسی حق داشت از این نام هرچه را که خود دوست دارد بفهمد، آن گاه گزاره ای یکسان درباره عدد یک، دلالت های مختلفی برای افراد مختلف می داشت؛ یعنی برای چنین گزاره هایی محتوای(۵) یکسانی وجود نمی داشت. برخی ممکن است از پاسخ به این پرسش سر باز زنند، با این استدلال که نمی توان گفت حرف a نیز، آن گونه که در علم حساب از آن استفاده می شود، بر چه دلالت می کند؛ و اگر بنا بود بگوییم «a بر یک عدد دلالت می کند»، همان اعتراض هایی برانگیخته می شد که تعریف «عدد یک، یک شی ء است» در پی داشت. حال در مورد حرف a کاملاً درست است که چنان پرسشی را نپذیریم: a بر عددی معین و مشخص دلالت نمی کند، بلکه برای بیانِ کلیت(۶) گزاره های کلی به کار می رود. اگر به جای a در a + a - a = a عددی قرار دهیم، حال هر عددی که باشد، البته به شرط تغییر ندادن آن، همواره یک این همانی( ۲ ) صادق خواهیم داشت. حرف a در چنین معنایی به کار می رود. اما عددِ یک وضعیت کاملاً متفاوتی دارد. آیا می توان در این همانیِ ۲ = ۱ + ۱ به جای ۱ در هر دو مورد، یک شی ء، مثلاً ماه را قرار داد؟ برعکس، به نظر می رسد به جای اولین ۱ هرچه قرار دادیم، به جای دومین ۱ باید چیز دیگری قرار دهیم. چرا در این جا باید کاری را انجام دهیم که در مورد قبلی کاملاً اشتباه بود؟ علم حساب تنها با حرف a سر و کار ندارد، بلکه باید از حروف دیگری مانند c، b و غیره نیز استفاده کند تا روابط میان اعداد مختلف را به صورت کلی بیان نماید. بنابراین، طبیعی است فرض کنیم که نشانه ۱ نیز، اگر بنا بود به همان نحو برای کلیت بخشی به گزاره ها به کار رود، به تنهایی نمی توانست بسنده باشد. اما آیا عدد یک شبیه به یک برابرایستای(۷) معین با ویژگی های مشخص به نظر نمی رسد، مثلاً این ویژگی که اگر در خودش ضرب شود بدون تغییر باقی می ماند؟ به این معنا، a هیچ ویژگی مشخصی ندارد، زیرا هرچه درباره a بتوان گفت ویژگی عمومی همه اعداد است، در حالی که ۱=۱۱ نه درباره ماه سخن می گوید، نه درباره خورشید، نه صحرای آفریقا، نه از قله جزیره تنریف.(۸) زیرا معنای چنین اظهاراتی چه می توانست باشد؟
احتمالاً حتی بیشتر ریاضیدانان آمادگی لازم را جهت ارائه پاسخی قانع کننده به چنین پرسش هایی ندارند. آیا ننگ نیست که علم ما تا این حد درباره اولین و قریب ترین برابرایستایش، که به ظاهر ساده ترین آن ها نیز هست، مبهم باشد؟ توان ما برای گفتن این که عدد چیست، از این هم کمتر است. اگر مفهومی که در بنیاد یک علم سترگ قرار دارد با چنین مسائلی روبه رو شود، پس تکلیفی ضروری است که با دقت بیشتر آن را بکاویم و بر آن مسائل فائق آییم؛ به ویژه از این نظر که تا زمانی که بینش ما در خصوص بنیاد تمام ساختار علم حساب ناقص باشد، پیشرفتی در توضیح اعداد منفی،(۹) کسری(۱۰) و مختلط(۱۱) نخواهیم داشت.
البته خیلی ها فکر می کنند که این کار به زحمتش نمی ارزد. به نظر ایشان، این مفهوم به کفایت در کتب مرجع پایه بررسی و بدین ترتیب برای همیشه کنار گذاشته می شود. چه کسی ممکن است معتقد باشد که درباره این موضوع چیز بیشتری برای آموختن باقی مانده است! مفهوم عددِ صحیح مثبت(۱۲) چنان خالی از اشکال به نظر می رسد که شرحی از آن که مناسب حال کودکان باشد می تواند هم علمی باشد و هم کامل؛ و هر دانش آموزی، بدون تاملِ بیشتر یا آشنایی با آنچه دیگران درباره آن اندیشیده اند، هر آنچه را باید درباره آن بداند، می داند. بدین ترتیب نخستین پیش نیاز یادگیری ــ یعنی دانستن این که نمی دانیم ــ در این جا مفقود است. نتیجه این است که ما هنوز به خام ترین دیدگاه ها خشنودیم، در حالی که از زمان هربارت،(۱۳) نظریه بهتری در دسترس بوده است. دیدن این که چگونه کشفیات یک دوره همواره با این خطر روبه رو هستند که به همین نحو از دست بروند، ناراحت کننده و دلسردکننده است. گویی این همه تلاش بیهوده بوده، زیرا خودمان را دارای چنان ثروتی تصور می کنیم که دیگر ضرورتی نمی بینیم تا ثمره های آن را برچینیم. کار من نیز، چنان که به خوبی آگاهم، با همین خطر روبه روست. آن گاه که می بینم محاسبه(۱۴) را «اندیشه مکانیکیِ تجمیعی»(۱۵) می خوانند،(۱۶) خود را با گونه ای ناپختگی روبه رو می بینم. شک دارم چنین اندیشه ای وجود داشته باشد. تصور تجمیعی(۱۷) شاید زمانی عملی باشد، اما این هیچ ربطی به محاسبه ندارد. اندیشه ذاتاً همه جا یکی است: چنین نیست که قوانین اندیشه بر حسب متعلقاتِ مختلفِ اندیشه متفاوت باشند. تفاوت فقط در کمی و بیشیِ میزانِ محض بودن است، و همچنین میزان وابستگی به تاثرات روان شناختی و کمک های بیرونی به اندیشه همچون زبان و شماره ها [ یا عددنشانه ها]،(۱۸) و نیز تا حدودی در میزان ظرافت ساختار مفاهیم؛ اما دقیقا به همین علت است که گویی ریاضیات مشتاق است از تمامی علوم حتی فلسفه فراگذرد.
از طریق نوشتار کنونی، این مطلب را درخواهید یافت که حتی استنتاجی(۱۹) همچون ۱+n از n، که در ظاهر کاملاً ویژه ریاضیات است، بر قوانین کلی منطق استوار است و نیازی به قوانین خاص اندیشه تجمیعی نیست. البته این امکان هست که از شماره ها(۲۰) به نحو مکانیکی استفاده کرد، همان گونه که می توان مانند طوطی سخن گفت؛ اما این را به سختی بتوان اندیشه نام گذاشت. این امر صرفا پس از آن امکانپذیر است که از طریق اندیشه واقعی،(۲۱) زبان نمادهای ریاضی چنان شکل گرفته باشد که بتوان گفت این [ نظام نمادهای ریاضی] به اصطلاح به جای ما می اندیشد. این بدان معنا نیست که اعداد به طریق مکانیکی ویژه ای شکل می گیرند، چنان که مثلاً ماسه ها از دانه های کوارتز ایجاد می شوند. به نظر من به نفع ریاضیدانان است تا با چنین دیدگاهی مخالفت کنند، زیرا به بی اعتباری یکی از برابرایستاهای اصلی علم آن ها و نیز خودِ علمشان منجر خواهد شد. اما حتی در آثار ریاضیدانان نیز اظهاراتی از این سنخ یافت می شود. کاملاً به خلاف این، باید دانست که مفهوم عدد، در مقایسه با بیشتر مفاهیم مربوط به علوم دیگر، ساختار ظریف تری دارد، هرچند که با این همه از ساده ترین [ مفاهیم] در علم حساب است.
حال برای از میان بردن این توهم که ما در مورد اعداد صحیح مثبت با هیچ مسئله ای روبه رو نیستیم و بلکه توافق عمومی راجع به آن ها حاکم است، لازم می بینم برخی دیدگاه های فیلسوفان و ریاضیدانان را درباره پرسش های مطرح شده بررسی کنم. روشن خواهد شد که میزان توافق آن ها چه اندک است، آن قدر اندک که یک رای، رای دیگر را کاملاً نقض می کند. برای نمونه، برخی معتقدند که «یکان ها [ واحدها] با هم این همان اند»،(۲۲) برخی دیگر اما آن ها را متفاوت می دانند و هر دو طرف در تایید گفته خود براهینی می آورند که به سادگی نمی توان آن ها را رد کرد. من در این جا به دنبال بیدار کردنِ ضرورت انجام دادن پژوهشی دقیق تر هستم. همزمان قصد دارم با از پیش توضیح دادنِ نظرهایی که دیگران ابراز داشته اند، زمینه را برای دیدگاه خود مهیا سازم و از این طریق خواننده را از پیش متقاعد سازم که آن طرقِ دیگر به هدف خود نمی رسند و این که دیدگاه من تنها دیدگاهی در میان دیدگاه های دیگر ــ که همه به یک اندازه مقبولیت دارند ــ نیست؛ و بدین ترتیب امیدوارم سرانجام به این پرسش، دست کم در مورد موءلفه های اساسی اش، پاسخ دهم.
البته توضیحات من در این جا بیش از آنچه ریاضیدانان روا می دارند فلسفی شده اند؛ اما هر پژوهش ژرفی در مفهوم عدد همواره تا حدودی فلسفی خواهد بود. این پژوهش تکلیفی مشترک میان ریاضیات و فلسفه است.
اگر همکاری میان این دو علم ــ علی رغم تلاش هایی چند از هر دو سو ــ چندان که انتظار می رفته و احتمالاً امکان آن وجود داشته ثمربخش نبوده است، به نظر من دلیل این امر غلبه روش های روان شناختیِ استدلال بر فلسفه است که حتی در منطق نیز نفوذ کرده اند. ریاضیات هیچ میانه ای با چنین گرایش هایی ندارد و از همین جا بیزاریِ اغلبِ ریاضیدانان از ملاحظات فلسفی به خوبی آشکار می شود. هنگامی که برای نمونه استریکر(۲۳) و (۲۴) تصورات( ۳ ) اعداد را اموری موتوری(۲۵) [ یا پدیده های حرکتی] و وابسته به تاثرات ماهیچه ای می داند، آن گاه ریاضیدان نمی تواند اعداد [ مورد مطالعه] خود را در چنین جایی بازشناسد و نمی داند چگونه باید کارش را از چنین گزاره هایی آغاز کند. علم حسابی که بنیادش بر تاثرات ماهیچه ای نهاده شده باشد، قطعا خود نیز کاملاً احساسی خواهد شد، و اما به اندازه بنیادش تیره و تار نیز خواهد بود. خیر؛ علم حساب نه با حواس هیچ کاری دارد و نه با تصاویر درونی(۲۶) که از آثار ادراکات حسی پیشین شکل گرفته باشند. آن عدم تعین و ناپایداری که در تمامی این مراحل یافت می شود، با تعین و ثباتی که در مفاهیم و برابرایستاهای ریاضیات وجود دارد، در تناقضی آشکار است. شاید تامل بر تصورات و تبدلات آن ها، که هنگام اندیشیدنِ ریاضیاتی اتفاق می افتد، بی فایده نباشد، اما روان شناسی نباید گمان کند که [ چنین تاملی] می تواند در بنیانگذاری علم حساب نقشی داشته باشد. ریاضیدانان در این مقام علاقه ای به این تصاویر درونی، خاستگاه و دگرگونی هایشان ندارند. استریکر خود می گوید که از کلمه «صد»(۲۷) هیچ تصور دیگری غیر از نشانه ۱۰ ندارد. دیگران ممکن است تصور حرف C یا چیز دیگری را داشته باشند؛ آیا از این جا نمی توان نتیجه گرفت که این تصاویر درونی، تا جایی که به ماهیت مسئله ما مربوط می شود، بی اهمیت و عارضی(۲۸)اند، همان اندازه عارضی که تخته سیاه و قطعه ای گچ، و به طور کلی شایسته این نیستند که تصور عدد صد خوانده شوند؟ بنابراین، نباید ماهیت موضوع مورد بحث را در این جا جستجو کرد. هرگز نباید شرح خاستگاه یک تصور را به جای یک تعریف نهاد، یا بیان آن شرایط روانی(۲۹) و فیزیکی(۳۰) را که ما از طریق آن ها از یک گزاره آگاه می شویم، در مقام اثباتی برای آن به حساب آورد، یا میان اندیشیده شدن(۳۱) [ یا متعلَّق اندیشه واقع شدنِ] یک گزاره و صدق(۳۲) آن خلط کرد! به نظر می رسد همواره باید به یاد داشته باشیم همان گونه که اگر ما چشمانمان را ببندیم، خورشید نیست و نابود نمی گردد، یک گزاره نیز هنگامی که ما به آن نمی اندیشیم، از صادق بودن ساقط نمی شود. در غیر این صورت، لازم می شود برای اثبات قضیه فیثاغورس به محتوای فسفر مغزمان توجه داشته باشیم، و نیز ستاره شناسان در مورد بسط نتایج کارشان به زمان های قبل احتیاط خواهند کرد، از ترس این که مبادا با اعتراض هایی از این دست مواجه شوند: شما ۲ ضربدر ۲ را ۴ حساب می کنید، اما تصور عدد برای خود سیر تکامل و تاریخی دارد! ممکن است تردید داشت که تا آن زمان چنان تصوری آن اندازه پیشرفت کرده باشد. آن ها چگونه می توانند مطمئن باشند که گزاره ۴ = ۲ × ۲ در آن زمان های دور وجود داشته است؟ آیا ممکن نیست قبلاً موجوداتی به گزاره ۵ = ۲ × ۲ معتقد بوده اند و گزاره ۴ = ۲ × ۲ بعدها در نتیجه فرایند انتخاب طبیعی در تنازع برای بقا، از آن تکامل یافته باشد؟ آیا به همین نحو ممکن نیست سرنوشت ۴ = ۲ × ۲ این باشد که به ۳ = ۲ × ۲ تکامل یابد؟ Est modus in rebus, sunt certi denique fines! (در هر چیزی میانه ای هست، و نیز حد و مرزی معین!)(۳۳) نگرش تاریخی که به شدنِ چیزها گوش می سپارد و از نحوه شدن آن ها در جستجوی شناخت ماهیت آن هاست، به یقین مزیت های زیادی دارد، اما محدودیت هایی نیز دارد. اگر همه چیز پیوسته در تغییر می بود و هیچ چیزی نبود که برای همیشه ثابت باشد، آن گاه شناخت جهان ناممکن می بود و همه چیز در ابهام فرومی رفت. آدمی چنین می اندیشد که مفاهیم به نظر آن چنان در ذهن شکل می گیرند که برگ ها بر شاخه های درختان، یعنی گمان می کنیم می توانیم ماهیت آن ها را با مطالعه سرچشمه شان بشناسیم و می کوشیم آن ها را از طریق طبیعتِ ذهن انسان، به نحو روان شناختی توضیح دهیم. اما چنین برداشتی همه چیز را سوبژکتیو(۳۴) می کند و، اگر تا آخر آن را دنبال کنیم، حقیقت را از میان خواهد برد. آنچه را تاریخِ مفاهیم می خوانیم، در واقع یا تاریخِ دانش ما از مفاهیم است یا تاریخِ دانش ما از دلالت واژه ها. اغلب اوقات صرفا پس از تلاش عقلانی فراوان است ــ که ممکن است قرن ها طول بکشد ــ که بشر سرانجام در حصول دانشی از یک مفهوم به صورتی محض، یعنی در گشودن لفافه های اضافی که آن را از چشم ذهن پنهان می دارند، کامیاب می شود. اکنون چه باید گفت آن گاه که کسانی به جای پیش بردن این تکلیف که هنوز کامل نیست، آن را خوار می شمارند، به مهد کودک می روند یا تا دورترین مراحل قابل تصورِ تکامل بشر به عقب برمی گردند تا در آن جا، همچون جان استوارت میل،(۳۵) چیزی همچون علم حساب کیکی یا سنگریزه ای(۳۶) کشف کنند. فقط همین می ماند که برای خوش طعم شدن این کیک، برخی دلالت های ویژه مفهوم عدد را نیز بیفزاییم. چنین روشی کاملاً مخالف روش عقلانی است، و تا آن جا که ممکن است غیرریاضیاتی. عجیب نیست که ریاضیدانان نمی خواهند چیزی درباره آن بدانند! به جای یافتن محضیت(۳۷) ویژه هر مفهوم، آن گاه که گمان می کنیم به سرچشمه آن ها نزدیک شده ایم، می بینیم که همه چیز همچون مه نامتمایز و ناپیداست. گویی کسی بخواهد برای شناختن آمریکا، خود را به جای کریستف کلمب بگذارد و به زمانی بازگردد که او نخستین نگاه مرددش را بر آنچه هند می پنداشت انداخت. البته چنین مقایسه ای چیزی را اثبات نمی کند، اما امیدوارم دیدگاه من را روشن تر سازد. شاید در بسیاری از موارد، تاریخ نخستین اکتشاف ها، جهت مهیا شدن برای تحقیقات بیشتر، مطالعه مفیدی باشد، اما نباید بنا باشد جای آن ها را بگیرد.
از منظر ریاضیدانان، مقابله با چنین دیدگاهی به ندرت ضروری بوده است؛ اما من مباحثم را به گونه ای مطرح کرده ام تا فلاسفه نیز تا جایی که ممکن است متوجه مسائل موجود بشوند، تا آن جا که ناچار شدم اندکی هم وارد مباحث روان شناسی بشوم؛ البته صرفا برای جلوگیری از تعرض آن به ریاضیات.
از این گذشته، گاهی حتی در کتب مرجع ریاضیات نیز تمایل به سمت روان شناسی دیده می شود. هنگامی که نویسنده ای خود را ملزم به ارائه تعریفی می بیند، اما از توان او خارج است، به این سمت گرایش پیدا می کند که دست کم راه رسیدن به برابرایستا یا مفهوم مورد نظر را شرح دهد. تشخیص چنین مواردی آسان است، زیرا در ادامه بحث دیگر به چنین توضیحاتی برنمی گردند. به یقین استفاده از ابزار مقدماتی برای اهداف آموزشی بلااشکال است، اما باید آن ها را به طور دقیق از تعاریف متمایز کرد. یک نمونه جالب از نحوه ای که حتی ریاضیدانان نیز ممکن است مبانی برهان را با شرایط درونی یا بیرونی لازم برای ارائه آن برهان خلط کنند، می توان نزد ای. شرودر(۳۸) یافت،(۳۹) آن جا که تحت عنوان «اصل موضوعه ویژه»(۴۰) می نویسد: «اصلی را که در ذهن من است می توان به خوبی اصل موضوعه ثبات نشانه(۴۱) خواند. این اصل به ما تضمین می دهد که در طول استدلال ها و استنتاج هایمان، نشانه ها در حافظه ما و به نحوی ثابت تر بر روی کاغذ باقی می مانند.» و الی آخر.
هرچه ریاضیات بیشتر همیاری از سوی روان شناسی را رد کند، بیشتر بر وابستگیِ نزدیکش با منطق صحه خواهد گذاشت. من تا آن جا پیش می روم که با آن هایی که معتقدند تمایز دقیقی میان این دو وجود ندارد موافقت کنم. همه در این مورد اتفاق نظر دارند که هر پژوهشی درباره وضوح یک برهان یا توجیه یک تعریف باید امری مربوط به منطق باشد. اما چنین پژوهش هایی را نمی توان به سادگی از ریاضیات حذف کرد، زیرا فقط با پاسخ دادن به آن هاست که به یقینی که برایمان ضروری است خواهیم رسید.
در این مسیر نیز من احتمالاً بیش از آنچه معمول است پیش خواهم رفت. بیشتر ریاضیدانان، در پژوهش هایی از این دست، پس از برطرف شدن نیازهای اولیه شان، احساس خشنودی می کنند. اگر یک تعریف ابایی از داخل شدن در براهین نداشته باشد، اگر به هیچ تناقضی برخورد نکنیم، اگر همبستگی میان موضوع های به ظاهر دور از هم آشکار گردد، و اگر بدین ترتیب نظم و قاعده مندی بیشتری حاصل شود، در این صورت معمول است که تعریف را به اندازه کافی استوار بدانند و پرسش های اندکی درباره توجیه منطقی(۴۲) آن مطرح خواهد شد. چنین فرایندی دست کم این مزیت را دارد که به سادگی هدف خود را کاملاً از دست نمی دهیم. من حتی موافقم که تعاریف باید اعتبارشان را با ثمربخش بودنشان، یعنی از طریق امکان پیش بردن برهان ها توسط آن ها، ثابت کنند. اما باید توجه داشته باشیم که حتی اگر هیچ اتصالی میان زنجیره استنتاج ها مفقود نباشد، تا زمانی که توجیه تعاریف فقط به کمک این اندیشه ثانوی است که با هیچ تناقضی برخورد نکرده ایم، قوّت برهان توهّمی بیش نخواهد بود. با چنین طرقی، از اساس صرفا به یقینی تجربی خواهیم رسید و باید به راستی آماده باشیم تا سرانجام بار دیگر با تناقضی روبه رو شویم که تمام برساخته هایمان را نابود سازد. به همین دلیل لازم دیده ام اندکی بیش از آنچه احتمالاً ریاضیدانان ضروری می دانند، در مبانی کلی منطقی به عقب بازگردم.
در پژوهشی که در پیش گرفته ام، به این اصول پایبند بوده ام:
الف) همواره میان امر روان شناختی و امر منطقی، و همچنین میان امر سوبژکتیو و امر اُبژکتیو، تمایز دقیقی قائل باشم.
ب) هرگز از دلالت یک واژه به طور مجزا پرسش نکنم، بلکه فقط در متن یک گزاره جویای آن باشم.
ج) همواره تمایز میان برابرایستا و مفهوم را در نظر داشته باشم.
مطابق اصل نخست، کلمه Vorstellungen [تصور] را همواره در معنایی روان شناختی به کار برده ام و میان تصورات، مفاهیم و برابرایستاها تمایز نهاده ام. اگر به اصل دوم توجه نداشته باشیم، تقریبا ناچار خواهیم شد تصاویر ذهنی یا کنش های یک ذهن خاص را به عنوان دلالت واژه ها بگیریم و به این ترتیب اصل نخست را نقض کنیم. بر اساس اصل سوم، فرض ِ اُبژه شدن یک مفهوم، بدون این که تغییری کرده باشد، توهمی بیش نیست. از همین نکته، غیرقابل دفاع بودن نظریه فرمالیستی رایج درباره اعداد کسری، منفی و غیره مشخص می شود. در نوشتار کنونی به چگونگی اصلاح این دیدگاه اشاره ای خواهم داشت. در تمامی این موارد، همانند اعداد صحیح مثبت، مسئله معین کردنِ دقیق معنای یک این همانی است.
فکر می کنم، دست کم در اصول اساسی، ریاضیدانان با نتایجی که من گرفته ام موافق باشند، اگر قبول زحمت کنند و دلایلم را مد نظر قرار دهند. به نظر من آن ها را همه جا می توان یافت و هر کدام را نیز به تنهایی، یا دست کم چیزی شبیه آن ها را پیش تر دیگران مطرح کرده اند؛ اما با آن پیوستگی که در این جا دارند، ممکن است همچنان تازه به نظر برسند. گاهی اوقات در شگفت شده ام که چگونه تفاسیری که در یک نقطه بسیار به دیدگاه من نزدیک شده اند، در نقطه ای دیگر آن قدر از آن دور بوده اند.
اقبال فلاسفه به این دیدگاه ها، بسته به مواضع مختلف آن ها، متفاوت خواهد بود، اما احتمالاً آن تجربه گرایانی که استقرا(۴۳) را یگانه طریق اصلی استنتاج (و در حقیقت نه فرایند استنتاج، بلکه فرایند عادت) می دانند، کمتر از دیگران آن ها را بپسندند. شاید کسی پیدا شود و از این فرض استفاده کند و مبانی نظریه شناخت خود را مجددا بررسی نماید. باید به آن هایی که تمایل دارند تعاریف من را غیرطبیعی(۴۴) بدانند بگویم که پرسش در این جا طبیعی بودن نیست، بلکه این است که آیا این تعاریف به عمق مطلب نفوذ می کنند و آیا از لحاظ منطقی قابل نقد هستند یا خیر.
من به خود این امیدواری را می دهم که حتی فلاسفه نیز در این کتاب، در صورت بررسیِ بدون پیش داوری آن، چیزهایی مفید بیابند.

بند ۱. پس از آن که ریاضیات برای مدتی طولانی خود را از فرسختیِ(۴۵) اقلیدسی دور نگه داشته بود، اکنون بار دیگر به سوی آن بازگشته است و حتی تلاش می کند از آن فراگذرد. در علم حساب، از آن جایی که بسیاری از مفاهیم و روش هایش منشا هندی داشته اند، در برابر هندسه که بیشترْ یونانی ها آن را شکل داده اند، معمولاً طریقه اندیشیدن فرسختی کمتری داشته است. حاصل کشف تحلیلِ عالی(۴۶) صرفا نشان دادن این بود که از یک سو پرداختن سفت و سخت به این آموزه با مسائل و مشکلاتی مهم و تقریبا لاینحل روبه روست، در حالی که از سوی دیگر به نظر نمی رسید کوشش برای غلبه بر آن ها سود چندانی نصیب ما کند. اما بسط بیشتر این موضوع ها با وضوح بیشتری به ما فهماند که در ریاضیات باوری صرفاً اخلاقی، متکی بر بسیاری کاربردهای موفق، کفایت نمی کند. برای بسیاری چیزها که پیش تر بدیهی به نظر می رسیدند، اکنون برهانی مورد نیاز است. بدین نحو برای نخستین بار حدود اعتبار [ یک گزاره] در برخی موارد معین شده اند. آشکار شده است که مفاهیم تابع،(۴۷) پیوستگی،(۴۸) حد(۴۹) و بی نهایت(۵۰) به تعاریف دقیق تری نیاز دارند. اعداد منفی و گنگ،(۵۱) که مدت ها در علم پذیرفته شده بودند، باید از جهت اعتبارشان جدی تر بررسی شوند.
پس در همه جا تلاش هایی مشابه برای ارائه برهان قوی، تعیین دقیق حدود اعتبار، و تعریف روشن مفاهیم برای دستیابی به این دو هدف قابل مشاهده است.
بند ۲. در پیمودن این طریق، سرانجام به مفهوم عدد (۵۲) و ( ۴ ) و ساده ترین گزاره های معتبر راجع به اعداد صحیح مثبت برخواهیم خورد، که سازنده مبنای تمامی علم حساب می باشند. البته فرمول هایی عددی(۵۳) همچون ۱۲ = ۵ + ۷ و قوانینی همچون قانون شرکت پذیریِ جمع(۵۴) آن چنان از طریق کاربردهای روزمره شان تثبیت شده اند که به نظر خنده آور می رسد تا با تقاضای ارائه برهانی برای آن ها بخواهیم در موردشان مناقشه کنیم. اما این نکته در بنیان ریاضیات قرار دارد که هر کجا امکان اثبات(۵۵) وجود دارد، بر تایید(۵۶) از طریق استقرا ترجیح داده شود. اقلیدس برای موارد بسیاری که همه بی دلیل از او می پذیرفتند، برهان آورده است. با راضی نبودن از میزان فرسختی اقلیدسی بود که این الزام پیش آمد تا به سمت پژوهش هایی در باب اصل توازی(۵۷) کشیده شویم.
بدین ترتیب حرکت ما در راستای بیشترین فرسختی ممکن، به انحای گوناگون از نیازی که در آغاز احساس شد فراگذشته و شدت و گستره اش همواره رو به رشد بوده است.
هدف اثبات تنها این نیست که صدق گزاره ای را ورای هر شک و تردیدی قرار دهد، بلکه همچنین بنا دارد تا به ما بینشی در مورد وابستگی حقایق به یکدیگر اعطا کند. پس از آن که در نتیجه تلاش های ناموفق، قانع شدیم که یک تخته سنگ را نمی توانیم جابه جا کنیم، این پرسش بر جای می ماند که چه چیزی به آن چنین تکیه گاه مطمئنی می دهد؟ هر چقدر این پژوهش ها را پیش تر می بریم، از تعداد حقایق آغازینی(۵۸) که همه چیز را به آن ها برمی گردانیم کاسته می شود؛ و این ساده سازی هدفی است که فی نفسه ارزش پیگیری دارد. اما شاید به دلایلی بتوان انتظاراتی بیش از این داشت: این که با آگاهی یافتن از آنچه انسان در موارد ساده به طور غریزی انجام می دهد، بتوان به روش های کلی ساخت مفاهیم(۵۹) و استدلال(۶۰) دست یافت، که قابل تعمیم به موارد پیچیده تر هستند، و بدین ترتیب آنچه را همه جا معتبر است از آن ها استخراج نمود.
بند ۳. انگیزه هایی فلسفی نیز بوده اند که من را برای انجام دادن چنین پژوهش هایی مصمم کرده اند. در این جا باید به پرسش از پیشینی یا پسینی(۶۱) بودن و تالیفی یا تحلیلی(۶۲) بودن ماهیت حقایقِ حسابی پاسخ داده شود. زیرا اگرچه این مفاهیم خود به فلسفه تعلق دارند، اما معتقدم که اتخاذ تصمیمی درباره آن ها بدون کمک ریاضیات ممکن نیست. البته این به معنایی بستگی دارد که ما از این پرسش ها مراد می کنیم.
رویه معمول این است که ما ابتدا به محتوای یک گزاره دست پیدا می کنیم و سپس از راه های صعب العبورِ دیگر در پی یافتن اثبات قاطع می گردیم، و اغلب از این طریق یاد می گیریم چگونه شرایط اعتبار(۶۳) آن گزاره را بهتر درک کنیم. پس به طور کلی باید بین این پرسش که چگونه به محتوای یک حکم دست پیدا می کنیم، و این پرسش که ملاک درستیِ(۶۴) اظهار ما از کجا می آید، تمایز قائل شویم.
تمایز میان پیشینی و پسینی، تالیفی و تحلیلی، به عقیده من(۶۵) نه به محتوای حکم، بلکه به ملاک درستیِ حکم کردن(۶۶) مربوط می شود. اگر چنین ملاکی در دست نباشد، امکان تمییز دادن هم وجود نخواهد داشت. یک خطای پیشینی همان اندازه مهمل است که یک مفهوم آبی. هنگامی که کسی گزاره ای را ــ به آن معنایی که من مراد می کنم ــ پسینی یا تحلیلی می خواند، چنین نیست که درباره آن شرایطِ روان شناختی، فیزیولوژیکی و فیزیکی حکم کند که شکل گیری محتوای آن حکم را در آگاهی ممکن کرده اند، و همچنین حکمی درباره این نیست که چگونه کسی دیگر، هرچند شاید به غلط، به این نتیجه رسیده که آن گزاره را صادق بداند؛ بلکه حکمی است درباره آن بنیان اساسی که ملاک ما برای صادق انگاشتن گزاره بر آن استوار است.
بنابراین، پرسش مذکور از قلمرو روان شناسی گرفته شده و به قلمرو ریاضیات ــ اگر موضوع یک حقیقت ریاضیاتی است ــ داده می شود. حال مسئله پیدا کردن اثبات و پیگیری آن تا حقایق نخستین است. اگر در این مسیر فقط با گزاره های منطقیِ کلی و تعاریف مواجه شویم، آن گاه با حقیقتی تحلیلی روبه رو هستیم، البته با توجه داشتن به این مطلب که باید آن گزاره هایی را که مقبولیت هر تعریف به آن ها وابسته است در نظر داشته باشیم. اما هنگامی که ارائه یک اثبات، بدون بهره گیری از یک دسته حقایق که ماهیت کلیِ منطقی ندارند، بلکه متعلق به قلمرو علوم خاصی هستند، ممکن نباشد، آن گاه حکم ما تالیفی خواهد بود. برای آن که حقیقتی از نوع پسینی باشد، لازم است اقامه اثبات برای آن بدون کمک امور واقع(۶۷) ــ یعنی حقایق اثبات ناپذیر غیرکلی که شامل اظهاری درباره برابرایستاهایی معین هستند ــ امکانپذیر نباشد. اما برخلاف این، اگر اقامه اثبات صرفا با استفاده از قوانین کلی ــ که خودشان نه اثبات پذیرند و نه به اثبات نیاز دارند ــ امکانپذیر باشد، آن حقیقت پیشینی خواهد بود.(۶۸)
بند ۴. با آغاز کردن از چنین پرسش های فیلسوفانه ای به مطالبه ای(۶۹) همانند می رسیم که به صورت مستقل در قلمرو ریاضیات مطرح می شود و آن این که: گزاره های بنیادی علم حساب، اگر اساساً ممکن باشد، باید با بیشترین فرسختی اثبات شوند؛ زیرا تنها در صورتی که شکاف های میان زنجیره های استنتاج با بیشترین دقت از میان برداشته شوند، می توان به یقین گفت که اثبات بر کدام حقایق نخستین استوار است؛ و فقط با علم به این مطلب است که می توانیم برای پرسش هایمان پاسخی بیابیم.
حال اگر بخواهیم این مطالبه را برآورده کنیم، به زودی به گزاره هایی برمی خوریم که تا هنگامی که تحلیل مفاهیم موجود در آن ها به مفاهیم ساده تر یا فروکاستن آن ها به چیزی کلی تر برایمان مقدور نباشد، اثبات آن ها امکان ناپذیر است. در این جا مقدم بر همه عدد است که یا باید تعریف شود یا به عنوان تعریف ناپذیر شناخته شود. تکلیف این کتاب باید همین باشد.(۷۰) تصمیم گیری راجع به ماهیت قوانینِ حسابی به نتایجی بستگی دارد که در این کتاب به آن ها خواهیم رسید.
پیش از آن که به خود پرسش ها بپردازم، چند نکته را به عنوان مقدمه خواهم آورد که می توانند راهنمای خوبی برای رسیدن به پاسخ ها باشند. مثلاً اگر از دیدگاهی دیگر، دلایلی وجود داشته باشند که اصول بنیادی علم حساب تحلیلی اند، آن گاه این نظر به معنای قبول اثبات پذیری و تعریف پذیری مفهوم عدد خواهد بود. در حالی که طرف مقابل دلایلی برای پسینی بودن آن ها خواهد داشت. از این رو، در این جا برای نخستین بار این دیدگاه های متنازع به صورت گذرا توضیح داده می شوند.

بخش اول: دیدگاه های چند نویسنده درباره ماهیت گزاره های حسابی

آیا فرمول های عددی اثبات پذیرند؟

بند ۵. ما باید میان فرمول های عددی که همچون ۵ = ۳ + ۲ برای اعداد خاصی برقرارند، و قوانین کلی که برای همه اعداد صحیح معتبرند، تمایز بنهیم. برخی فلاسفه(۷۱) معتقدند که دسته نخست همچون اصول موضوعه اثبات ناپذیر و بی واسطه بدیهی اند. کانت(۷۲) آن ها را اثبات ناپذیر و تالیفی می داند، اما برای اصول موضوعه خواندن آن ها درنگ می کند، زیرا کلی نیستند و شمارشان هم بی نهایت است. هانکل(۷۳) و (۷۴) به درستی فرض تعدادی نامتناهی از حقایق نخستینیِ اثبات ناپذیر را پارادوکسیکال و نامعقول می داند. این در واقع با نیاز عقل به وضوحِ مبانی اولیه در تناقض است. و آیا این که

۱۷۳۵۲۷ = ۳۷۸۶۳ + ۱۳۵۶۶۴

بی واسطه روشن است؟ خیر! و کانت این را دلیلی بر ماهیت تالیفی این گزاره می شمارد. اما این در واقع سخنی است علیه اثبات ناپذیری آن گزاره؛ زیرا اگر بداهتی بی واسطه ندارند، چگونه باید بدون اقامه یک برهانْ صدق آن ها را دانست؟ کانت شهود انگشتان یا نقطه ها را به کمک فرامی خواند، اما در این صورت او با این خطر روبه روست که این گزاره برخلاف دیدگاه خودش تجربی به نظر برسد؛ زیرا شهود ما از ۳۷۸۶۳ انگشت، حال هرچه که باشد، به هیچ وجه محض نیست. افزون بر این، اصطلاح «شهود»(۷۵) نیز چندان مناسب به نظر نمی رسد، زیرا حتی ۱۰ انگشت در موقعیت های مختلف می توانند شهودهای گوناگونی ایجاد کنند. و آیا ما به راستی اساسا شهودی از ۱۳۵۶۶۴ انگشت یا نقطه داریم؟ اگر چنین شهودی و همچنین شهودی از ۳۷۸۶۳ انگشت و نیز شهود سومی از ۱۷۳۵۲۷ انگشت می داشتیم، آن گاه درستیِ فرمول ما، در صورت اثبات ناپذیر بودن آن، دست کم در مورد انگشتان، بلافاصله محرز بود؛ اما حقیقت امر چنین نیست.
کانت به وضوح فقط اعداد کوچک را در نظر داشت؛ به گونه ای که فرمول ها برای اعداد بزرگ اثبات پذیر و برای اعداد کوچک از طریق شهود، بی واسطه بدیهی خواهند بود. اما گذاشتن تمایزی بنیادی میان اعداد کوچک و بزرگ مضحک است، به ویژه که به ندرت کشیدن مرزی مشخص میان آن ها امکانپذیر است. اگر فرمول های عددی مثلاً برای اعداد بزرگ تر از ۱۰ اثبات پذیرند، ما حق داریم بپرسیم: «چرا برای اعداد بزرگ تر از ۵ چنین نباشد؟ یا بزرگ تر از ۲؟ یا بزرگ تر از ۱؟»
بند ۶. برخی دیگر از فیلسوفان و ریاضیدانان معتقد به اثبات پذیری فرمول های عددی بوده اند. لایب نیتس(۷۶) می گوید:
«این حقیقتی بدیهی نیست که جمع ۲ با ۲، ۴ می شود؛ با این فرض که ۴ نشان دهنده ۳ و ۱ است، می توان آن را به نحو زیر اثبات کرد:

تعاریف: الف) ۲، ۱ و ۱ است.
ب) ۳، ۲ و ۱ است.
ج) ۴، ۳ و ۱ است.

اصل موضوعه: با جابه جایی این همان ها به جای این همان ها، این همانی تغییر نمی کند.( ۵ )



پس: (بر اساس اصل موضوعه) ۴ = ۲ + ۲.»

در آغاز به نظر می رسد که این برهان کاملاً بر اساس تعاریف و اصل موضوعه ذکرشده صورت بندی شده است. اصل موضوعه نیز چنان که لایب نیتس در جای دیگری چنین کرده،(۷۷) می تواند به یک تعریف تبدیل شود. چنین به نظر می آید که نیاز نیست چیزی بیشتر از آنچه در تعاریف آمده است، درباره ۱ و ۲ و ۳ و ۴ بدانیم. توجه دقیق تر اما نشان از شکافی در برهان دارد که از حذف دو کمانک [ پرانتزها] ناشی شده است. اگر بخواهیم دقیق تر باشیم، باید چنین بنویسیم که:

(۱ + ۱) + ۲ = ۲ + ۲
.۴ = ۱ + ۳ = ۱ + (۱ + ۲)

این گزاره این جا جا افتاده است:

۱ + (۱ + ۲) = (۱ + ۱) + ۲

که حالت خاصی است از:

.a+ (b + c) = (a + b) + c

اگر چنین قانونی را از پیش فرض بگیریم، به آسانی می بینیم که می توان اثبات مشابهی را برای هر فرمول جمع اعداد ارائه کرد. یعنی هر عددی بر حسب عدد پیشینش تعریف می شود. و به راستی نمی توانم بفهمم چگونه می توان عددی مانند ۴۳۷۹۸۶ را به شیوه ای بهتر از آنچه لایب نیتس می گوید، به دست آورد. به این طریق، ما حتی بدون داشتن تصوری از آن عدد، آن را در اختیار خواهیم داشت. با چنین تعاریفی، مجموعه بی نهایتِ اعداد را به یک و افزودن یک ها(۷۸) برمی گردانیم و هر کدام از بی نهایت فرمول های عددی را می توانیم با استفاده از چند گزاره کلی اثبات کنیم.
دیدگاه اچ. گراسمان(۷۹) و اچ. هانکل نیز همین است. گراسمان تلاش می کند قانون را با استفاده از تعاریفی به نحو زیر به دست آورد:(۸۰)

۱ + (a + (b + ۱) = (a + b

«اگر aو b دو عضو دلخواه از دنباله پایه(۸۱) باشند، آن گاه حاصل جمع a و b را باید آن عضوی از دنباله پایه بدانیم که این فرمول برای آن برقرار است:

«.a + (b + e) = (a + b) + e

e در این جا بر یکان [ یا واحد] مثبت(۸۲) دلالت می کند. از دو جهت مختلف می توان بر این تعریف ایراد گرفت. اول این که حاصل جمع بر حسب خودش توضیح داده شده است. اگر هنوز نمی فهمیم a + b بر چه دلالت دارد، دلالت (a + (b + e را نیز نخواهیم فهمید. از این انتقاد می توان این چنین گریخت ــ که البته با خود متن ناسازگار است ــ که در این جا بنا داریم جمع(۸۳) را تعریف کنیم نه حاصل جمع(۸۴) را. در این صورت هنوز می توان اعتراض کرد که اگر عضوی یا اعضایی از دنباله پایه وجود نداشته باشند که شرایط گفته شده را برآورده سازند، آن گاه a + b علامتی تهی خواهد بود. گراسمان از پیش فرض می کند که در واقع چنین اتفاقی نمی افتد، بدون آن که آن را اثبات کرده باشد، در نتیجه قاطعیت اثباتش فقط در ظاهر است.

نظرات کاربران درباره کتاب مبانی علم حساب

سلام من از این کتاب در نوشتن پایان نامه ام کمک گرفتم مشکلی که الآن با آن مواجه شدم این است که این کتاب به صورت فیزیکی ۱۶۶ صفحه دارد در حالی که نسخه الکترونیک آن در فیدیبو دارای ۳۶۵ صفحه است شما کلی از زحمات من رو هدر دادید چرا صفحات این کتاب با نسخه فیزیکی مطابق نیست همه ارجاعات پایان نامه ام خراب شده است.
در 1 ماه پیش توسط sad...280
کتاب بی شک شاهکار فرگه در فلسفه ریاضی است. به نظرم مترجم محترم تمام تلاشش را کرده تا ترجمه ای دقیق ارائه دهد. اما به هرحال متن کلاسیک است و ترجمه چنین آثار سترگی دشواری های خاص خود را دارد.
در 2 سال پیش توسط moh...i65