فیدیبو نماینده قانونی نشر نی و بیش از ۶۰۰ ناشر دیگر برای عرضه کتاب الکترونیک و صوتی است .
کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی

کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی

نسخه الکترونیک کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی به همراه هزاران کتاب دیگر از طریق فیدیبو به صورت کاملا قانونی در دسترس است.


فقط قابل استفاده در اپلیکیشن‌های iOS | Android | Windows فیدیبو

درباره کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی

در بیرون جامعه‌ی ریاضی، اغلب این تصور جزمی وجود دارد که فرآیند اثبات در ریاضیات مفهومی مطلق و پایدار و مستقل از مقتضیات زمان و مکان، سلایق شخصی و گروهی و تحولات دانش بشر در طول اعصار است. هرچند در ریاضیات (به‌نسبت دیگر شاخه‌های دانش بشری) اجماع نظر بیش‌تری درباره‌ی اعتبار احکام وجود دارد، مفهوم اثبات دستخوش تحولات تاریخی و درگیر ملاحظات جدی فلسفی، آموزشی و جامعه‌شناختی بوده و هست. نوشته‌ی حاضر می‌کوشد توجه خواننده را به وجود مناقشه در این زمینه جلب کند و، ازاین‌رو، مستقل از نظر من درباره‌ی جزئیات متن، گام مثبتی برای آشناکردن خواننده با یکی از مباحث مهم فلسفه‌ی ریاضیات است. سیاوش شهشهانی استاد ریاضی دانشگاه صنعتی شریف کتاب جامعه‌شناسی اثبات ریاضی دارای دو ویژگی بسیار چشمگیر و قابل ستایش است. نخست این‌که موضوع آن ازجمله موضوعات نوظهور و خط مقدمی تفکر و اندیشه‌ی جامعه‌شناختی و فلسفی معاصر است. در این مرز مشترک میان جامعه‌شناسی و فلسفه هنوز مبانی و اصول جاافتاده‌ی اجماع‌شده‌ای به وجود نیامده و آثاری که صرفاً مبنای پژوهشی داشته باشد بسیار کم و نادر است. این وضع دشواری و ناهمواری قلمروی را آشکار می‌کند که نویسنده شجاعانه و البته محتاطانه وارد آن شده است. ویژگی برجسته‌ی دیگر کتاب نحوه‌ی مواجهه‌ی فکورانه و غیرمقلدانه‌ی نویسنده با موضوع است. صرف‌نظر از این‌که از نظر بنده یا هر فرد دیگری چه انتقاداتی می‌تواند در نقد و بررسی مفصل کتاب مطرح باشد، ظهور این قبیل آثار نوآورانه‌ی پژوهشی در فضای به‌شدت مقلدانه‌ی مدرنیستی ـ سیانتیستیِ جامعه‌ی فکری معاصر ایران رویدادی است بدیع، امیدبخش و سزاوار تحسین بسیار. سعید زیباکلام استاد فلسفه‌ی دانشگاه تهران

ادامه...
  • ناشر نشر نی
  • تاریخ نشر
  • زبان فارسی
  • حجم فایل 2.75 مگابایت
  • تعداد صفحات ۱۷۱ صفحه
  • شابک

بخشی از کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی

شما به آخر نمونه کتاب رسیده‌اید، برای خواندن نسخه کامل، کتاب الکترونیک را خریداری نمایید و سپس با نصب اپلیکیشن فیدیبو آن را مطالعه کنید:



پیشگفتار

در سال های پژوهش درباره ی قیاس ناپذیری(۱) «پارادایم های علمی» تامس کوهن، همواره با پرسشی مواجه بودم: آیا همچون نظریه های علمیْ پیدایش نظریه های ریاضی و تکوین آن تحت تاثیر عوامل جامعه شناختی، روان شناختی، متافیزیکی و فلسفی جامعه است؟ پس از اتمام کتاب قیاس ناپذیری پارادایم های علمی فرصتی حدوداً چهارساله یافتم تا درباره ی چنین موضوعی (کتاب حاضر) مطالعه کنم. از آن جا که اساساً چنین پژوهش هایی در جامعه ی ما وجود ندارد و در سطح جهان نیز اندک است، تهیه ی منابع مشکلات فراوانی داشت. ازاین رو، شایسته است از دونالد مکنزی، فیلسوف و جامعه شناس علم دانشگاه ادینبرو، تشکر کنم. او با راهنمایی ها و ارسال کتاب ارزشمند اثبات مکانیکی مشوق من در نوشتن این اثر بود. همچنین، در مراحل نهایی کار قدردانِ استاد بزرگوارم جناب آقای دکتر سعید زیباکلام هستم که گره گشایی های ارزنده و به موقع ایشان در شکل گیری کار نقشی مهم داشت.
در ادامه، مرهون همه ی کسانی ام که طی سالیان طولانی در گردآوری مجموعه ای معتبر از کتاب ها و مجله های تخصصیِ پژوهشگاه دانش های بنیادی تلاش کردند. بدون دسترسی به این منابع برخی از مطالعه های موردی کتاب حاضر (به ویژه فصل آخر) امکان پذیر نبود. همچنین، از همه ی عزیزانی تشکر می کنم که در نشر نی در مراحل مختلف آماده سازی کتاب حاضر تلاش کردند.
سرانجام، سپاس گزارِ همسر فهیم و صبورم برای همه ی همراهی ها و محبت های بی منتِ فراوانش هستم.

غلامحسین مقدم حیدری
پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی

مقدمه

این فرض که «فقط فرد توانایی اندیشیدن دارد» سبب پنداشتنِ خاستگاه همه ی افکار و عقاید در ذهن فرد شده است. ازاین رو، در بررسی مکتب فکری خاصی فقط برهان ها و مقدمات آن ها مطالعه می شود: شیوه ای آشکار و مالوف در کتاب های فلسفی. گاهی چنان ارزشی برای اندیشه و فکر قائل ایم که امکان ارتباط این فعالیت بشر را با سایر فعالیت های او، به ویژه درعرصه ی اجتماعی، فراموش می کنیم. حتا زمانی که به چنین ربط و نسبتی اذعان می کنیم، درواقع می کوشیم چگونگی تاثیر اندیشه ها را در سایر وجوه زندگانی بشر (ازجمله زندگی اجتماعی) نشان دهیم. درهنگام بررسی تحولات اجتماعی به گونه ای استدلال می کنیم که نشان دهیم فکر و اندیشه ای خاص سبب تحولی بزرگ در جامعه شده است. به دیگرسخن، در بیان ربط و نسبت میان اندیشه و اوضاع اجتماعی قائل به ارتباطی یک سویه هستیم: تاثیر همواره ی اندیشه در جامعه.
کارل مارکس، امیل دورکیم، مکس شلر و کارل مانهایم از مهم ترین پیشگامانی اند که چنین موضعی را نقد و بررسی کرده اند. دراین میان، مانهایم جایگاه برجسته تری از دیگران دارد: او نخستین بار برای «جامعه شناسی معرفت» چارچوبی تعیین کرد و با پژوهش های موردی قابلیت و توانایی آن را نمایاند. مانهایم در کتاب معروف ایدئولوژی و اتوپیا (۱۹۳۶) تاکید می کند: «ما به گروه تعلق داریم نه فقط بدین سبب که در آن زاده می شویم، نه تنها برای آن که به متعلق بودن مان اعتراف می کنیم و سرانجام نه به دلیل آن که با آن پیمان دوستی می بندیم، بلکه از آغاز به این سبب که جهان و برخی چیزهای آن را به همان شیوه ای می بینیم که به چشم گروه می آید (برحسب ارزش ها و معانی گروه مورد بحث)» (Mannheim, ۱۹۳۶: ۱۹). «گروهی که فرد در زهدان آن می اندیشد و تجربه می کند» (Ibid., ۲۵). پس فرد فقط در معنایی محدود، سخن و اندیشه ای را می آفریند که به او نسبت می دهیم. درواقع او به زبان جامعه ای سخن می گوید که بدان متعلق است و به شیوه ای می اندیشد که جامعه اش می اندیشد. به جای این که بگوییم فردِ واحد می اندیشد، درست تر است بگوییم او در اندیشیدنی شرکت می کند که دیگران پیش از او اندیشیده اند. ازاین رو، با تحلیل های صرف منطقی نمی توان به درک کامل از اندیشه ای رسید، بلکه باید توجه کرد اندیشه «مجموعه ی پیچیده ای است که نه می تواند به سهولت از منشا های روان شناسانه ی محرک های عاطفی و حیاتی اش بگسلد نه از محیط و موقعیتی که آن جا پدید آمده است» (Ibid., ۲).
اما به نظر مانهایم معرفت علمی و ریاضی مناقشه ی دیگری است: «تصدیقِ دو ضرب در دو مساویِ چهار معلوم نمی کند که چه کسی کِی و کجا آن را فرمول بندی کرده است. درصورتی که درباره ی اثری تحقیقی در علوم اجتماعی همیشه می توان گفت: آیا از مکتب تاریخی ملهم شده یا از پوزیتیویسم یا از مارکسیسم؛ و این که هریک از این ها در چه مرحله ای از سیر تکاملی پدید آمده است؟ در اظهارهایی اینچنینی می توانیم از تاثیر پایگاه اجتماعی پژوهنده در نتایج تحقیقی اش و نسبت محیطی یا رابطه ی این دیدگاه ها با واقعیت بنیادین سخن بگوییم» (Ibid., ۲۴۴). برطبق آرای مانهایم علوم دقیقه (مانند ریاضیات و فیزیک) مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان است. ازاین رو، نمی توان این علوم را به اوضاع زندگانی ربط داد، به ویژه جایگاه و مقام دانشمندی که به گسترش علوم مشغول است. به بیانی دیگر، عوامل اجتماعی نمی تواند در نتایج این گونه اندیشه ها تاثیرگذار باشد و نشانه هایی که گواه اصل و منشا انسانی آن هاست در این علوم هویدا نیست.
براثر انتقادهای ویران گرانه ی دو دهه ی ۵۰ و ۶۰ میلادی چنین تصوری از علوم تجربی و ریاضیات شدیداً متزلزل شد. دراین میان، کتاب ساختار انقلاب های علمی(۲) تامس کوهن اهمیت به سزایی داشت. کوهن در این کتاب نشان داد دانشمندان ــ که، به گمان رفتار همیشه عقلانی خویش، ابرانسان می نمودندــ به واقع در قلمرو اندیشه پرورده ی شرایط و مقتضیات جوامع انسانی هستند. ازاین رو، نظریه هایی که «می سازند» گرچه در تلائم با طبیعت اند، نتیجه ی بازتاب حالات روان شناختی آنان و شرایط اجتماعی شان است. معیار گزینش نظریه های علمی صرفاً براساس استدلال های منطقی مبتنی بر شواهد تجربی نیست. انتخاب بین نظریه های رقیب در عملْ انتخابی بین شیوه های متعارض زندگی اجتماعی است، ازاین رو عوامل جامعه شناختی نقشی مهم در آن ایفا می کند. پس از کوهن، امواج متلاطمی در قلمرو علم شناسی رخ داد و انواعی از مکتب های معرفت شناسی و جامعه شناسی پدید آمد و نضج گرفت. مکتب اجتماعی ادینبرو یکی از این مکاتب است. این مکتب ــ که در دانشگاه ادینبرو شکل گرفت ــ نخستین مکتبی است که خودِ دعوی های معرفت علمی را با تحلیل های جامعه شناختی بررسی کرد. دیوید بلور با کتاب معروف معرفت و تمثال اجتماعی(۳) (۱۹۷۶) از بانیان این مکتب است.
این تلاش ها، علاوه بر طرح نظریه هایی در حوزه ی جامعه شناسی معرفت علمی، سببِ پیدایش مجموعه ی فراوانی از مطالعات موردی دراین زمینه شده است. کتاب گولم: آن چه هرکسی باید درباره ی علم بداند(۴) نوشته ی ترِوِر پینچ و هری کالینز، مقاله ی « فرهنگ وایمار، علیت و نظریه ی کوانتوم»(۵) نوشته ی پل فرمن، کتاب علم در عمل(۶) و زندگی آزمایشگاهی(۷) نوشته ی برونو لاتور ازجمله آثار ارزشمند در این حوزه است. دراین میان، «جامعه شناسی معرفت ریاضی» پیکری بسیار نحیف دارد و جامعه شناسان کم تر به آن توجه کرده اند. دراین زمینه می توان به کارهای دیوید بلور: «کرانه ها، احتمالات و دشواری»(۸) (آخرین اثرش)؛ اریک لیوینگستون: کتاب مبانی روش شناسی مردم نگارانه ی ریاضیات(۹) و مقاله ی «فرهنگ های اثبات کردن»(۱۰)؛ سل رستیو: کتاب ریاضیات در جامعه و تاریخ: الزامات جامعه شناختی(۱۱)؛ چارلز فیشر: مقاله ی «برخی خصلت های اجتماعی ریاضی دانان و کار آنان»(۱۲) و کتاب اثبات مکانیکی: محاسبه، ریسک و اعتماد(۱۳) نوشته ی دونالد مکنزی اشاره کرد.
ازجمله عوامل عدم گسترش جامعه شناسی معرفت ریاضی وجود تصوری فراگیر از ریاضی دانان بود؛ آنان در زمان ارائه ی نظریه یا ارزیابی آن ــ همچون «پیکره ی مرد متفکر» آگوست رودن ــ سرد و سخت و بی روح اند و احساسات، هیجان ها، اعتقادات دینی و منافع شغلی کوچک ترین تاثیری در آنان نمی گذارد. چنین تصوری از کجا ناشی می شود؟ منشا این باور از باور دیگری است که مطابق آن ریاضیات براساس اثبات های سخت و صلب بنا شده است و اعتبار مسحورکننده ی معرفت ریاضی به سبب همین اثبات های متقن است. رابطه ی «اثبات»(۱۴) و معرفت ریاضی چنان درهم تنیده است که ریاضیات بدون «اثبات» چندان معنایی ندارد. اگر معرفت ریاضی را همچون معبدی درنظر بگیریم و بخواهیم مفهوم و روش های اثبات را از آن جا برداریم، ظاهراً چیزی در این معبد جز حساب هایِ چهار عمل اصلی باقی نمی ماند.
این اثر می کوشد با ذکر پژوهش های موردیِ تاریخی نشان دهد «اثبات» مفهومی صلب و مطلق نیست، بلکه طول تاریخ تغییر کرده است. عوامل این تغییر و تحول نه صرفاً پژوهش های ریاضی بلکه عوامل جامعه شناختی نیز بوده است که گاه بسیار موثرتر از عوامل ریاضی بوده اند. به نظر مایکل عطیه (برنده ی جایزه ی فیلدز)(۱۵): «وقتی مردم از دیدگاه فلسفی و منطقی محض به ریاضیات می نگرند، فقط وجه کوچکی را از آن می بینند. یک گام در استدلال ریاضیْ قیاسی یک خطی نیست؛ درواقع آن کپسول فشرده ای از صد سال ریاضیات است که در کلمه ای خلاصه شده است... بنابراین مواردی از جامعه شناسی در ریاضیات وجود دارد. آن چه در زمان معینی مقبول است (به منزله ی حکمی که مردم می پندارند فهمیده اند) درطول زمان تغییر می کند» (MacKenzie, ۲۰۰۱: ۳۱۸).
مطالب ریاضی کتاب حاضر تا جای امکان ساده بیان شده است تا برای کسانی که غیرتخصصی با این حوزه آشنایند قابل درک باشد. برخی از این پژوهش های موردی براساس پژوهش های نویسنده و برخی نیز «بازسازی» پژوهش های فیلسوفان و جامعه شناسان ریاضی است. فصل اول، «آغاز یک بحران»، مفهوم هندسی اثبات را در پارادایم اقلیدسی بیان می کند. این مفهوم در قرن های شانزده و هفده میلادی با بروز اعوجاج هایی در حل معادلات دست خوش تغییر و تحول شد و مفهوم جبری اثبات پدید آمد. مبنای این فصل مقاله ی « اثبات در جبر قرن هفدهم» نوشته ی برندان لارور و کتاب آشنایی با تاریخ ریاضیات (ج ۱) اثر هاورد ایوز است. در فصل دوم، «هندسه ی محافظه کارانه علیه هندسه ی مدرنیستی»، مناقشه ی پدیدآمده میان طرفداران اثبات هندسی و اثبات جبریِ اواخر قرن هجده و اوایل قرن نوزده در ناپل ایتالیا بررسی می شود. این مناقشه ی به ظاهر ریاضی مناقشه ای میان ریاضی دانان محافظه کار و انقلابی، سنتی و روشن فکر و دین دار و بی دین بود. این فصل بازسازی مقاله ی «هندسه دانان الهی» نوشته ی ماسیمو مازوتی است. «انقلاب نااقلیدسی» (فصل سوم) حاصل پژوهش موردی درباره ی بازسازی انقلاب نااقلیدسی در هندسه براساس الگوی پارادایمی کوهن است. این انقلاب با فعالیت های هیلبرت سبب ظهور پارادایم جدیدی در ریاضیات به نام صورت گرایی شد. فصل چهارم، «ریاضی دان رمانتیک» تاثیر عصر رمانتیک را در نگرش های عرفانی و خودشناسیِ براور، توپولوژی دان بزرگ قرن بیستم، بررسی می کند و نشان می دهد چگونه تاملات درونی او سبب پیدایش نگرش جدیدی به مبانی ریاضیات، به نام شهودگرایی، شد. فصل پنجم، «صورت گرایی علیه شهودگرایی»، تقابل دو مکتب شهودگرایی براور و صورت گرایی هیلبرت است. بخشی از این فصل برمبنای مقاله ی «جدال موش و قورباغه» نوشته ی دیرک وان دالن، ریاضی دان و فیلسوف معاصر، است. فصل ششم، «مرگ اثبات»، درباره ی نحوه ی به کارگیری کامپیوترها برای حل مسائل ریاضی است که پس از دهه ی هفتاد قرن بیستم سبب بحران در مفهوم اثبات ریاضی شده است.

فصل اول: آغاز یک بحران

هندسه ی ترکیبی

قرن چهارم پیش از میلاد دوره ی شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه ی افلاطون بود. دوستان یا شاگردان افلاطون تقریباً همه ی مسئله های مهم ریاضی این دوره را انجام داده بودند. تاثیر افلاطون در ریاضیات معلول هیچ یک از اکتشاف های ریاضی او نیست، بلکه این تاثیر به سبب نظر ستایش آمیزش به مطالعه ی ریاضیات به منزله ی عالی ترین زمینه ی تعلیم ذهن برای پرورش فیلسوفان و اداره کنندگان دولت است. از نظر افلاطون «ریاضیات وضع واسطه ای بین صور و اشیا دارد» و «صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آن ها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیله ی ساختمان سطوح آن ها متعین می شود و ساختمان سطوح آن ها به وسیله ی ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع، که از آن ها ساخته شده اند» (کاپلستون، ۱۳۶۸، ج ۱: ۲۲۵). هندسه درباره ی «مُثل» (عالم بالا) صحبت می کند. اگر ما در زندگی روزمره ناگزیریم از اشکال هندسی استفاده کنیم، فقط برای تداعی مُثل است. افلاطون چنان اهمیتی برای هندسه قائل بود که در رساله ی منون برای وضوح بخشیدن به یکی از آرای خویش (نظریه ی تذکر) به ریاضیات متوسل می شود و از قضیه ای استفاده می کند که قابل نمایش هندسی است. چنین اشتیاقی است که شعار معروفش را بر سردرِ آکادمی اش توجیه می کند: «کسی که هندسه نمی داند داخل نشود».
اقلیدس یکی از شاگردان مکتب افلاطون بود. او کوشید ریاضیاتی را که فیثاغوریان شروع کرده و بعداً بقراط، ائودوکسوس، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند در کتابی به نام اصول گردآوری کند. این اثر شامل سیزده مقاله و کلاً حاوی ۴۶۵ قضیه است. ارزش عمده ی این اثر گزینش ماهرانه ی قضایا و تنسیق منطقی آن هاست. هدف از تالیف اصول استفاده از آن به عنوان کتاب درسی مقدماتی برای ریاضیات عمومیِ زمان خود بود. چنین هدفی محقق شد، چنان که به محض پدیدآمدن با اقبال روبه رو گردید. ازاین پس، از جانشینان اقلیدس گرفته تا اعصار جدید فقط ذکر شماره ی مقاله و شماره ی قضایا برای مشخص کردن قضیه کافی بود. هیچ اثری جز کتاب مقدس به این وسعت استفاده، ویرایش یا مطالعه نشده و احتمالاً هیچ اثر دیگری بیش تر از آن در تفکر علمی تاثیر نگذاشته است. اصول اقلیدس از زمان اولین چاپ در ۱۴۸۲ م. متجاوز بر هزاربار تجدید چاپ شده است. این کتاب برای بیش از دو هزاره همه ی تعالیم هندسه را دربر می گرفت و روش آن روش پژوهش در ریاضیات بود.
روش اصول در تدوین ریاضیات روش اصل موضوعی بود، یعنی همه ی قضایا از حدود ده گزاره، اصول متعارف و اصول موضوعه به دست می آید. برای این که گزاره ای در دستگاهی قیاسی اثبات شود باید نشان داد که این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است که قبلاً به اثبات رسیده است. گزاره های اخیر نیز خود باید ازطریق گزاره هایی ثابت شود که قبلاً اثبات شده است و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمی توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر باید مجموعه ی محدودی از گزاره ها پذیرفته شود. این گزاره های بدواً پذیرفته شده «پوستولا(۱۶)ها» یا «اصول موضوعه» مبحث نامیده می شود و همه ی گزاره های دیگر مبحث را باید به طور منطقی با آن ها پذیرفت. وقتی که گزاره های مبحثی بدین صورت منظم شود، گفته می شود که مبحث در شکل «اصل موضوعی» عرضه شده است. تاثیر این جنبه ی کتاب اصول در نسل های بعدی آن چنان عظیم بود که این اثر به صورت الگویی برای نمایش ریاضی دقیق درآمد و این امر امروزه تقریباً در همه ی زمینه های ریاضیات نفوذ کرده است.
اما روش حل مسائل و بسط مطالب در این کتاب از نوع ترکیبی بود: یعنی رسیدن از آن چه معلوم و ساده تر است به مجهول و موارد پیچیده تر و این روشی بود که در هندسه به کار می رفت. بدون تردید فرآیند عکسِ آن که بعدها تحلیل نامیده شد، یعنی فروکاستن مجهول و موارد پیچیده تر به معلوم، در کشف اثبات بسیاری از قضایا نقش داشت، اما هیچ نقشی در ارائه ی مطالب هندسی نداشت و ازاین رو در اصول چندان توجهی به آن نشد. روش ترکیبی در حل مسائل ریاضی سبب شد تا اثبات قضایا به روش هندسی الگوی غالب جامعه ی ریاضی شود، به طوری که وقتی از «اثبات» قضیه ای سخن گفته می شد بدان معنا بود که راه حلی هندسی برای آن بیان شده است. روش ترکیبی یا هندسه ی ترکیبی (دربرابر هندسه ی تحلیلی که بعدها دکارت پدید آورد) پارادایم حاکم بر ریاضیات تا حدود قرن هفدهم و هجدهم بود.
در اصول این روش برای اثبات قضایا به کار رفته است. مثلاً، مقاله ی دوم اصول شامل تعدادی قضایاست و درحقیقت اتحادهایی جبری است که در قالب اصطلاحات هندسی بیان شده است. قضیه ی چهارم این مقاله چنین است: اگر خط راستی به دو قسمت دل خواه تقسیم شود، مربع ساخته شده روی تمام خط برابر است با مجموع مربعات ساخته شده روی دو قسمت، به علاوه ی دو برابر مستطیلی که اضلاع آن از این دو قسمت تشکیل می شود. این اتحاد، که امروزه به صورت a + b)۲ = a۲ + ۲ab + b۲) بیان می شود، با تقطیع مربعی به ضلع a + b به دو مربع و دو مستطیل ثابت می شود که دارای مساحت های ab،‫ ab،‫ a۲،‫ b۲ هستند (شکل ۱).‬‬‬



شکل ۱

در قرن های پانزده و شانزده نمادهای جبری رواج یافت، اما چنین امری سبب کاسته شدن اعتلای هندسه و اعتبار آن نشد. برای نمونه، باید به کاوش های ریاضی در این دو قرن اشاره کرد که درباره ی تئوری معادلات بود. این کاوش ها درباره ی یافتن روش هایی برای تبدیل و تحویل(۱۷) حل معادلات درجه ی دوم و سوم به روش های هندسی بود. دو روش اصلی برای حل برخی معادلاتِ ساده به کار می رفت: روش تناسب ها و روش اضافه کردن مساحت ها. روش تناسب ها راه حل های هندسی را برای حل معادلات فراهم می آورد. با روش دوم نیز ریشه های معادله به دست می آمد.
ریاضی دانان این دوره با اصرار می کوشیدند تا اثبات قضایا را به روش هندسی بیان کنند. به عبارت دیگر، زمانی گفته می شد قضیه ای «ثابت» شده است که راه حل هندسیِ آن بیان می شد. مثلاً، پاچولی(۱۸) (۱۴۴۵-۱۵۱۷ م.) بیش تر درپی آن بود که علم جبر را برای تحقیق در خواص اشکال هندسی به کار گیرد. او با چنین مسائلی سروکار داشت:
شعاع دایره ای در مثلثی محاط شده چهار اینچ است. قطعاتی از یک ضلع که در دو طرف نقطه ی تماس (دایره و مثلث) قرار دارد شش اینچ و هشت اینچ است؛ طول دو ضلع دیگر چگونه تعیین می شود.
دانشجویان روزگار ما، با یک معادله ی ساده ی جبری مسئله را حل می کنند، ولی پاچولی جز با ترسیم پیچیده ی هندسی به نتیجه ی مذکور نمی رسید و او از جبر فقط برای محاسبه ی طول پاره خط های مزبور بهره می جست.

ظهور نمادهای جبری

در قرن شانزدهم، جیرولامو کاردانو(۱۹) (۱۵۰۱-۱۵۷۶ م.)، ریاضی دان ایتالیایی، توانست راه حلی جبری برای معادلات درجه ی سوم و چهارم ارائه کند. در ۱۵۴۵ م. او کتاب فن کبیر(۲۰) خود را در نورنبرگ آلمان منتشر کرد که رساله ی مهم و مفصلی درباره ی جبر بود. کاردانو در این رساله سیزده راه حل هندسی برای معادله ی x۳ + mx = n ارائه کرد. البته او نمی توانست معادله ی مزبور را به صورت جبری بیان کند، زیرا به هیچ یک از سمبل های کنونی ما دسترسی نداشت. کاردانو صورت مسئله را در قالب نثرهای کوتاه بیان می کرد. بدین منظور، مجهول x را یک پاره خط، ضریب m را سطح و ضریب n را حجم تفسیر می کرد تا هم نواختی دو طرف معادله حفظ شود، یعنی هر دو از جنس حجم باشد.
اثبات به روش هندسی حوزه ی عملکرد کاردانو را محدود می کرد، زیرا هندسه ی اقلیدسی به بررسی اشکالی می پرداخت که در طبیعت بود. چنین اشکالی حداکثر سه بعد داشت. بنابراین، کاردانو فقط معادلاتی را می توانست صورت بندی کند که درجه ی آن ها از سه بیش تر نباشد. در ریاضیات این دوران، از آن جایی که «اثبات» در معنای اثبات به روش هندسی بود، پس هیچ حکمی نمی توانست برای معادلات بیش تر از درجه ی سه اثبات شود. او در ضمیمه ی فن کبیر روشی برای حل معادلات دو مربعی (درجه ی چهار) می آورد که نمی توان آن را اثبات (هندسی) دانست. در این جا، روش مزبور را با استفاده از نمادهای امروزی برای حل معادله ی x۳ + mx = n به کار می بریم. اگر m و n اعداد مثبت باشد، داریم:



وقتی



باشد، زیر رادیکال ها اعداد موهومی می شود که پس از ساده کردن عبارت فوق با استفاده از اتحاد (a۳ + b۳ = (a + b)(a۲ + b۲ − ab ریشه هایی حقیقی برای معادله به دست می آید. «اینْ نمونه ی اولیه ی انحرافی است که جهان اعداد مختلط آن را سبب شده بود، آن هم ازطریق مسئله ای که نه در بیانش و نه در حلش هیچ ارجاعی به اعداد مختلط نمی دهد» (Larvor, ۲۰۰۷, ۱۲۳). کاردانو مانند ریاضی دانان دیگر می توانست بگوید چنین ریشه هایی ناممکن و بی معناست. اما او خود را با مسئله ای غامض روبه رو دید: ازطرفی اثبات ــ از نظر او و جامعه ی ریاضی ــ فقط با روش های هندسی امکان پذیر بود و ازطرف دیگر با راه حلی مواجه بود که نتایج آن با روش پیشین قابل بیان نبود. این مسئله در قرن بعد سبب بروز مناقشه های شدیدی شد. «برای کاردانو بخشی از نتایجی که در قالب هندسه ی اجسام صلب با اندازه های متناهی مدل سازی نمی شد به طوفانی مبدل گشت» (Ibid.).
در ۱۵۹۱ م. فرانسوا ویت(۲۱)، ریاضی دان فرانسوی، مدخل فن تحلیل(۲۲) ــ مشهورترین اثر خودــ را منتشر کرد. ویت در این کتاب حروف مصوت را برای نمایش کمیت های مجهول و حروف بی صدا را برای نمایش کمیت های معلوم معرفی می کند. مثلاً x،‫ x۲،‫ x۳ را ویت به صورت A،‫ A quadratum و‬‬‬ A cubum و نویسندگان بعدی به اختصار به صورت A،‫ Aq و Ac نوشتند. او از علامت های «+» و «-» استفاده کرد، ولی هیچ نمادی برای تساوی نداشت. مثلاً او 5BA2 − 2CA + A3 = D را به صورت‬ A + A cub aequatur D solido در A quad − C plano 2 در B5 می نوشت.
بدین گونه ویت بدون استفاده از هندسه با محاسباتی به حل معادلات پرداخت که فقط متکی بر به کارگیری حروف و علائم بود. روش او حاکی از تغییر در مفهوم عدد بود. درواقع، او همچون کاردانو اعداد را به طور هندسی تعبیر نمی کرد، گرچه از واژگان قدیمی هندسی مثل مکعب و مربع استفاده می کرد (همان طور که ما نیز استفاده می کنیم). ویت خود را ملزم نمی دید که برای حل معادلات از نمودارهای هندسی استفاده کند، درحالی که اثبات های کاردانو همه با استفاده از نمودار و عناصر آن همچون پاره خط، سطح، حجم و موقعیت های نسبی آن ها نسبت به یک دیگر بود. به همین سبب در متون ویت نمودارهای اندکی دیده می شود.
یکی دیگر از بدعت های ویت به کارگیری ابعادی بیش از سه بود. او از مکعب مکعب صحبت می کرد، یعنی از عبارت هایی مثل x۳ که در کارهای کاردانو برای اثبات ریاضی معنا نداشت، زیرا هیچ مصداق واقعی برای آن وجود نداشت ــ حداکثر درجه ای که برای کاردانو و جامعه ی ریاضی آن روز معنا داشت سه بود، یعنی حجم. کاردانو از درجات بالاتر از سه و اعداد موهومی فقط زمانی استفاده می کرد که آن ها را صرفاً برای محاسبات، نه اثبات، درنظر می گرفت.
ویت در آغاز فصل دوم کتابش چنین می گوید: « تحلیل به منزله ی قوانین بنیادین و شناخته شده ی معادلات و نسبت ها پذیرفته شده که در اصول [اقلیدس] بیان شده است» (Larvor, ۲۰۰۷: ۱۲۷). شش مورد از این قوانین از مفاهیم مشترک اقلیدس گرفته شده و ده مورد دیگر از کتاب «V» اقلیدس است که به اودکس نسبت داده می شود و درباره ی نسبت ها و اندازه هاست. درواقع، می توان گفت که ویت بیش تر پیرو اودکس بود تا پیرو اقلیدس.
در ۱۶۳۱ م. توماس هریوت (۱۵۶۰-۱۶۱۸ م.) با انتشار کتاب فنون تحلیلی حل معادلات جبری(۲۳) کوشید آرزوهای ویت را در بنیادنهادنِ جبری تحقق بخشد که استدلال هایش فقط با نمادها صورت گیرد. با کنارگذاشتن تعاریف، او نیز مانند ویت نتایجش را درون لم (۲۴)ها و قضایا مرتب کرد. استدلال های او نیز بیش تر برمبنای کتاب «V» اقلیدس بود. مثلاً، برای اثبات این قضیه که میانگین حسابی دو عدد نابرابر بزرگ تر از میانگین هندسی آن هاست چنین استدلال می کند:
چون دو عدد p و q با هم نابرابرند پس یکی از دیگری بزرگ تر است، یعنی p > q. سپس دو طرف را در p − q ضرب می کنیم. او q۲،‫ pq،‫ p۲ را یک سری نسبت درنظر می گیرد و بنابراین چنین نتیجه می گیرد: p۲ − pq > pq − q۲.‬‬
البته او به جای استفاده از حروف اندیس دار (آن گونه که ما از دکارت آموخته ایم) مثل p۲ و q۲ از تکرار حروف یعنی pp و qq استفاده می کرد. مهم ترین کار هریوت به کارگیری نمادی برای ضرب چندجمله ای ها بود که کارکرد پرانتز را برای او داشت. او ضرب (a + b)(c − d) را با استفاده از یک خط عمود به صورت



می نوشت. این کار سبب شد که او بتواند بدون استفاده از نثر و توضیح های زبانی و فقط با نمادها عبارت ها را با هم ترکیب کند. چنین کاری او را در قیاس با کاردانو و ویت قدرتمندتر می کرد.
در ۱۶۶۸ م. کتابی با عنوان مقدمه ای بر جبر(۲۵) منتشر شد. در اصل، جان ران(۲۶) آلمانی این کتاب را نوشت، توماس برنکر(۲۷) به انگلیسی ترجمه کرد و جان پیل(۲۸) تغییرات اساسی در آن داد و قسمت هایی را به آن افزود. این کتاب اهمیت فراوانی دارد، زیرا آن را می توان نقطه ی عطفی در گذر از اثبات های هندسی آمیخته با نثر به اثبات صوری دانست. در صفحه ای از این کتاب اثباتی از سه تایی فیثاغورس آمده است (شکل ۲).



شکل ۲

همان طور که در شکل ۲ ملاحظه می شود، این صفحه به سه ستون تقسیم شده است. در ستون راست یعنی پهن ترین ستون محتوای اثبات آمده، در ستون باریک میانی به هر خطِ اثبات شماره ای تعلق گرفته و در ستون سمت چپ نیز برای هر خط توضیحی آمده که از کدام یک از سطرهای پیشین منتج شده است. چنین عملی دقیقاً مشابه کار برنامه نویسان و منطق دانان کنونی است. توضیح های داده شده از شیوه ای استاندارد پیروی می کند، زیرا فقط تعداد محدودی عملیات حساب (مثل جمع، ضرب و تفریق) وجود دارد که روی هر سطر به کار گرفته شده تا سطر بعدی را نتیجه دهد. درواقع، ما «به جای استانداردهای سفت وسخت کاردانو با قاعده ای ساده روبه رو هستیم: مطمئن شوید که عمل یکسانی برای هر دو طرف یک معادله به کار برده اید» (Ibid., ۱۲۹).
با چنین شیوه ای شخص می توانست «به طور نحوی»(۲۹) مراحل استدلال را کنترل کند، یعنی می توانست با بررسی قوانین منطق و قوانین جبر (قوانین جمع، منها، ضرب، تقسیم و...) درستی یا نادرستی استدلال را تشخیص دهد. چنین شیوه ای جدید بود، زیرا از نظر ریاضی دانان آن دوران درستی و استحکام هر استدلال ریاضی در گرو به کارگیری شیوه های هندسی بود نه نحو قواعد جبری به کار گرفته شده.

نظرات کاربران درباره کتاب جامعه‌شناسی اثبات رياضی

باتوجه به اینکه هردو قشر ریاضیدان و غیر ریاضیدان رو درنظر گرفته ، عالیست
در 2 ماه پیش توسط mar...dad